Goldshish

Introduction to parallel computing: main differences and architectures. ASICs vs FPGAs.

Introduction to digital circuits: history, the role of transistors and ICs. Analysis of MOSFTET behaviour. Analog vs Digital.

Introduzione alla Meccanica Statistica. Ripasso di fondamenti di termodinamica: equilibrio, trasformazioni, funzioni di stato, reversibilità, proprietà estensive/intensive, primi due principi. Primo postulato della Meccanica Statistica nell’ensemble microcalorico (equiprobabilità a priori).

Il significato del primo postulato della Meccanica Statistica (equiprobabilità a priori), giustificazione data da Boltzmann.

Analisi del primo postulato, introduzione del secondo

(Ho preso appunti direttamente in LaTeX, tempo di risistemarli decentemente e li pubblico - per ora c’è solo la prima bozza)

Giustificazione del secondo postulato: l’entropia così definita è estensiva e, in un sistema isolato, può solo crescere.
Applicazione dei postulati al caso dei gas ideali: derivazione delle formule per l’energia e della legge dei gas perfetti.

Gli appunti in \(\LaTeX\) sono in presa diretta, e non li ho ancora ricontrollati - non come altri LaTeX qui pubblicati che sono frutto di revisione.

Paradosso di Gibbs. Esercizio sul primo postulato (calcolo del numero di particelle in un certo volume all’equilibrio). Ensemble canonico, potenziale termodinamico: energia libera di Helmholtz.

(Appunti di Mattia Morgavi)

Risoluzione dell’esercizio (precedentemente assegnato) sulla media nell’ensemble canonico. Teorema di equipartizione dell’energia. Equivalenza tra microcanonico e canonico. Modello di gas ideale biatomico.

L’ensemble grancanonico: derivazione, principali relazioni + esercizio sul canonico

Esercizi (continuazione di quelli già iniziati + nuovi), introduzione alla meccanica statistica quantistica.

(Lezione non tenuta causa imprevisto del professore)

Ensemble microcanonico, canonico e grancanonico in meccanica statistica quantistica. Stati quantistici di un sistema a N particelle a volume finito. Conseguenze dell’indistinguibilità delle particelle: il principio di esclusione di Pauli.

Grancanonico quantistico: gas di fermioni e bosoni.

Purtroppo non sono riuscito a seguire la lezione, recupererò gli appunti prossimamente.

La (non) condensazione in 2D e 1D. La condensazione quantistica. Distribuzione di Maxwell-Boltzmann quantistica.

Confronto tra statistiche quantistiche e classiche: il limite classico, energia e momento di Fermi.

Esercizi dal file 2018.pdf

Esercizi (saranno caricati prossimamente)

Introduzione alla MQ. Motivazione del formalismo: 4 punti che devono essere spiegati. Esempio: sparare elettroni contro due fenditure genera una figura d’interferenza. Prima impostazione di un esempio sulla polarizzazione dei fotoni.

Ora con \(\LaTeX\), yeah!

Trattazione della polarizzazione dei fotoni. Polarizzazione come elemento nella sfera di Bloch. Principio di sovrapposizione, completezza di Dirac. Comportamento del singolo fotone quantistico come limite della teoria classica. In MQ gli osservabili NON hanno valore prima di una misura, altrimenti ciò porta a risultati assurdi (esempio: esperimento sulla birifrangenza dei cristalli).

Aggiunto \(\LaTeX\)!

Descrizione matematica di un sistema fisico: osservabili, stati, valor medi. Spettro di un osservabile, spazio delle fasi. Le proprietà intuitive soddisfatte dalla meccanica classica sono violate in MQ (matrici infinito-dimensionali di Heinsenberg, funzioni d’onda di Schrodinger. Stati puri e stati misti. Il principio di indeterminazione mina la definizione dello spazio delle fasi. Def. di valor medio

Formalismo matematico della MQ.

Formalismo matematico della MQ (ultimi elementi).
Introduzione alla formulazione assiomatica Hilbertiana (o Standard).

Il file \(\LaTeX\) contiene gli appunti risistemati delle lezioni tra il 4/10 e l’8/10, con annesse note esplicative personali :)

Formulazione Assiomatica Standard: spazio di Hilbert astratto, spazio degli stati puri, proprietà degli osservabili

Proprietà degli osservabili in MQ e loro traduzione nelle proprietà degli operatori che li rappresentano.

Struttura probabilistica per operatori. Definizione di famiglia spettrale ed esempio. Assioma delle osservabili, assioma della probabilità. Osservazioni su autoaggiuntezza e probabilità

Ulteriore esempio di famiglia spettrale. Spettro di un operatore, e assioma dello spettro. Osservazioni sulla natura dello spettro, differenza tra spettro continuo e discreto.

Considerazioni sullo spettro di un operatore, Formalismo di Dirac (parte 1)

Formalismo di Dirac (parte 2) - formalizzazione matematica, vantaggi e svantaggi. Esercizio sul momento in MQ.

Analisi nel dettaglio di come scegliere diversi domini per l’operatore momento produce operatori che descrivono diverse osservabili, o nessun operatore. Effetto di Aharonov-Bohm. Fase di Berry. Stati misti in MQ

Evoluzione temporale in MQ nella notazione di Heisenberg e Schrodinger. Approcco di Dirac: omogeneità del tempo + traslabilità richiede che l’evoluzione sia data da operatori unitari. Azioni di gruppo e rappresentazione proiettiva. Teorema di Bargmann: si può studiare una rappresentazione proiettiva sul suo rivestimento, in modo che sia unitaria (più semplice matematicamente). Teorema di Stone: evoluzione temporale come ‘flusso’ di un operatore autoaggiunto. Assioma dell’evoluzione degli stati puri, osservazioni sull’equazione di Schrodinger.

Evoluzione temporale per stati misti. Esempio: buca infinito dimensionale in MC e MQ, analisi delle differenze

Calcoli di probabilità di misure per spettro discreto e continuo. Confronto tra il risultato (sbagliato) di risolvere l’equazione per una \(\langle{\psi}\lvert\) non in \(D(H)\) e quello corretto con la decomposizione spettrale. Descrizione di cosa accada ad uno stato a seguito di una misura (sistema non più isolato).

Evoluzione temporale: differenze tra fisica classica e MQ. Evoluzione di medie e fluttuazioni di posizione e momento per una particella libera. Esempio: buca infinitamente profonda in \(\mathbb{R}^3\).

Analisi di autovalori di e autofunzioni dell’operatore \(H\) nel caso di un potenziale a gradino (e confronto con il caso classico)

Conclusione dell’analisi del potenziale a gradino. Particella con potenziale di barriera: analisi e differenze con la MC.

Analisi del sistema della buca con profondità finita. Considerazioni qualitative sulle autofunzioni per un potenziale \(V(x)\) generico. Esercizio (numerico) sulla buca infinitamente profonda.

Principio di indeterminazione: caso generale (con dimostrazione). Osservabili compatibili e commutatività (dimostrazione nel caso a spettro discreto).

Osservabili dipendenti e indipendenti. Insiemi completi di osservabili compatibili indipendenti. Insiemi completi e completezza (di Dirac) della base di autovettori comuni (+ dim). Insieme Completo di Osservabili Compatibili (ICOC) + caso per spettro arbitrario. Definizione precisa di rappresentazione. Insiemi irriducibili. Esercizio (numerico) + consegna per casa.

Conclusione dell’esercizio numerico iniziato la lezione precedente. Introduzione ai sistemi quantistici composti

Sistemi composti in MQ: gli stati del sistema composto si trovano nello spazio di Hilbert dato dal prodotto tensore degli spazi di Hilbert delle singole particelle (assioma dei sistemi composti). Entanglement quantistico. Definizione di simmetria fisica, simmetria dinamica. Corrispondenza tra simmetrie e leggi di conservazione. Cenni di teoria dei gruppi.

Simmetrie, gruppi e generatori. Il caso delle traslazioni spaziali e delle rotazioni.

Rotazioni e il gruppo SO(3). SU(2) come ricoprimento universale di SO(3). Conseguenze dell’algebra per gli autovalori comuni a \(\vec{J}^2\) e \(J_z\).

Armoniche sferiche, introduzione allo spin

Momento angolare e composizioni

Esercizio: misure di momento angolare per particella dotata di spin

L’oscillatore armonico quantistico: teoria + esercizio.

Analisi del potenziale centrale

Stati legati per l’atomo di idrogeno

Esercizio sull’oscillatore armonico

Lo scattering quantistico

Scattering quantistico: parte finale. Distinguibilità di particelle identiche: confronto tra MC e MQ, conseguenze.

Le conseguenze dell’indistinguibilità di particelle quantistiche: il principio di esclusione di Pauli.

I potenziali periodici: il teorema di Bloch. Esercizio sul potenziale periodico del modello di un reticolo cristallino: spettro discreto a bande, momento di Fermi.

Teorema delle perturbazioni indipendenti dal tempo, ed esempio di applicazione (effetto Stark)

Discussione dell’effetto Stark tramite teoria perturbativa, e confronto con i risultati sperimentali. Osservazione di Oppenheimer sulla possibilità, non contemplata dalle perturbazioni, di effetto tunnel e spettro continuo: motivazione del perché ciò non viene osservato. Esercizio sull’oscillatore armonico. Introduzione al paradosso EPR.

Il paradosso EPR: descrizione e possibili soluzioni

Il paradosso EPR e le disuguaglianze di Bell. Il gatto di Schrödinger. Riepilogo finale degli argomenti del corso (ultima lezione).

Teoria: prime 30 diapositive dal file ‘diodo’ sul moodle. Esercizi su circuiti + un esercizio su semiconduttori.

Teoria: fino a diapositiva 61 sul file ‘diodo’ sul moodle. Esercizi sui diodi + un esercizio per casa.

Esercizi su diodi. Informazioni sulla prima esperienza di laboratorio (misura di parametri di circuiti con diodi).

Transistor BJT, funzionamento e regimi di attivazione diretta, saturazione e cutoff. Esercizi sui transistor.

Transistor NPN e PNP, esempi, due modi di polarizzazione + esercizi.

Gli amplificatori: descrizione teorica generale e modelli. Introduzione agli amplificatori operazionali.

Amplificatori operazionali: configurazione non invertente e invertente, con esercizi.

Amplificatori operazionali come amplificatori di transconduttanza: configurazioni floating e grounded, esercizi ed esempi.

Varie configurazioni di circuiti con operazionali: amplificatori di somme e differenze. Esempi ed esercizi.

Amplificatori operazionali come filtri: tipologie. Uso della trasformata di Laplace per la risoluzione di circuiti elettronici: esempio nel caso dell’RLC.

Ulteriori esempi dell’uso delle trasformate di Laplace. Applicazione: filtri con operazionali. Esempi + esercizio per casa.

Mosfet: introduzione, caratteristiche, funzionamento. Diapositive sul moodle (Mosfet1.pdf) fino a 22

MOSFET - teoria (diapositive su Mosfet1.pdf da 22 alla fine)

Descrizione delle misure dell’esperienza di laboratorio sui MOSFET. Introduzione all’utilizzo di MOSFET come amplificatori.

Circuiti amplificatori con MOSFET, relativamente all’esperienza in laboratorio + esercizio numerico.

Esercizi di riepilogo su op amp, BJT, MOSFET.

Esercizi op amp e BJT + es. per casa (manca un dato, \(R_d = 5k\Omega\))

Spettroscopia: detector. (+ diapositive sull’analisi dei fit dal Moodle)

Funzionamento del detector per le esperienze del secondo semestre

Detector per spettroscopia - parte 3

Saranno completati entro qualche giorno

Sensori per fotoni al silicio/camere di scintillazione. Descrizione dell’esperienza gamma.

In lavorazione

Descrizione dell’esperimento Zeeman

In lavorazione

Introduzione generale all’insegnamento: scopo, programma, modalità d’esame.
Definizione di algoritmo. Errori metodologici e di arrotondamento. Machine-number. (Stickler & Schachinger - capitolo 1: sezioni 1.1, 1.2)

Interdipendenza fra errore metodologico ed errore di arrotondamento. Stabilità di un algoritmo. Errore statistico. (Stickler & Schachinger - capitolo 1: sezioni 1.3, 1.4, 1.5)
Metodi deterministici per ODE ai valori iniziali: formule alle differenze finite per la derivata prima: derivata forward, backward, centered. (Stickler & Shachinger - capitolo 2: sezioni 2.1, 2.2, 2.3)
Algoritmo di Eulero esplicito ed implicito. (Stickler & Schachinger - capitolo 5: sezioni 5.1, 5.2 - Giordano & Nakanishi - capitolo 1, sezioni 1.2, 1.3: ATTENZIONE: a lezione ho ottenuto l’algoritmo di Eulero implicito nella stessa maniera in cui G&N ottiene quello esplicito, invece S&S li ottiene entrambi in una maniera differente)
Errore locale e globale di un algoritmo per ODE. (Giordano & Nakanishi - capitolo 1, sezione 1.5)

Moto di una bicicletta in presenza di attrito. Dipendenza quadratica dell’attrito dalla velocita’.
(Giordano & Nakanishi - capitolo 2, sezione 2.1
Per una giustificazione del perché si trascura il termine di attrito lineare nella velocita’: esercizio 2.3. Per la descrizione dei due regimi a potenza costante o a forza costante: esercizio 2.5)
Traiettoria di un proiettile in presenza di attrito: approssimazione isoterma ed adiabatica per la variazione di densità dell’aria con l’altezza. (Giordano & Nakanishi - capitolo 2, sezione 2.2)

Instabilità dell’algoritmo di Eulero per sistemi oscillanti. Amplificazione esponenziale degli errori nel calcolo dell’energia. Algoritmo di Eulero-Cromer.
(Giordano & Nakanishi - capitolo 3, sezione 3.1)
Eulero-Cromer come algoritmo simplettico. Cenni sugli algoritmi simplettici. Algoritmo di Stormer-Verlet. Regola di starting. (Stickler & Schachinger - capitolo 5: sezione 5.2 e capitolo 7: sezione 7.2 - Giordano & Nakanishi - Appendice A S&S introduce Eulero-Cromer come Eulero simplettico in 5.4)

Algoritmi di Verlet, Verlet-velocità, leap-frog. Equivalenza fra i diversi schemi di Verlet. Algoritmi di mid-point e di Eulero-Richardson (mid-point esplicito).
(Stickler & Schachinger - capitolo 5: sezione 5.2 e capitolo 7: sezione 7.2 - Giordano & Nakanishi - Appendice A)

(Lezione saltata per impegni istituzionali del Prof.)

Laboratorio di informatica: esercizio sulla bicicletta e sul moto parabolico di un proiettile (CFR moodle)

(Laboratorio di informatica: CFR moodle)

Algoritmi di mid-point implicito ed esplicito come metodi di Runge-Kutta.
Metodo generale di Runge-Kutta a s passi per ODE del primo ordine Tableau di Butcher. Condizione per metodi espliciti di Runge-Kutta.
Condizioni per metodi di Runge-Kutta di ordine m. Condizione per metodi di Runge-Kutta simplettici.
(Stickler & Schachinger - capitolo 5: sezione 5.3 (per Runge-Kutta in generale) e 5.4 (per Runge-Kutta simplettici) - Giordano & Nakanishi - Appendice A)

Appunti di Mattia Morgavi

Esempi di Tableau di Butcher per metodi espliciti di Runge-Kutta
Famiglia di metodi espliciti di Runge-Kutta di ordine 2. Metodo di Heun (end-point). Metodo classico di Runge-Kutta di ordine 4.
(Stickler & Schachinger - capitolo 5: sezione 5.3 - Giordano & Nakanishi - Appendice A)
Problema del pendolo non lineare smorzato e forzato. Impredicibilita’ di un sistema caotico deterministico. Instabilita’ esponenziale.
Transizione verso il regime caotico: esponenti di Lyapunov, sezione di Poincare’ e raddoppio del periodo
(Giordano & Nakanishi - capitolo 3: sezione 3.2, 3.3, 3.4)

Appunti di Mattia Morgavi

Classificazione delle PDE. Problemi di Cauchy e problemi con condizioni al contorno.
(Numerical Recipes: capitolo 19, sezione 19.0)

PDE ellittiche. Equazioni di Laplace e di Poisson. Operatore Laplaciano discretizzato.
Metodi di rllassamento: metodo di Jacobi.
Relazione fra metodo di Jacobi ed equazione di diffusione.
Metodo di Gauss-Seidel e metodi di super-rilassamento.
(Giordano & Nakanishi - capitolo 5: sezione 5.1, 5.2)

Laboratorio di informatica: risoluzione dell’equazione di Laplace (CFR Moodle)

Consistenza, stabilità e convergenza di un algoritmo. Teorema di equivalenza di Lax.
Metodi per problemi iperbolici: schema FTCS. Analisi di stabilità di von Neumann. Metodo di Lax. Metodo staggered leap-frog.
(Numerical Recipes: capitolo 19, sezione 19.1)

Introduzione generale ai problemi di diffusione: legge di Fick; relazione di Einstein; trasporto del calore. (per questa parte di introduzione generale alla diffusione seguo:
Chaikin & Lubensky “Principles of Condensed Matter Physics” - cap. 7.4.1,7.4.4
in generale l’approccio di questo libro è a un livello più avanzato che per una triennale)

Condizione di stabilità per lo schema FTCS applicato all’equazione della diffusione.
Schemi impliciti: algoritmi di Laasonen e di Crank-Nicholson
(Numerical Recipes: capitolo 19, sezione 19.2)

Metodo FTCS e metodi impliciti per l’equazione di Schrodinger. Condizione di unitarietà: algoritmo di Crank-Nicholson nel caso generale.
Soluzione di sistemi lineari tridiagonali: cenni a metodi generali per soluzione di sistemi lineari.
Metodi per equazione di Schrodinger: Numerical Recipes: capitolo 19, sezione 19.2; Stickler & Schachinger - capitolo 11, sezione 11.5; Giordano & Nakanishi - capitolo 10, sezione 10.5
Soluzione di sistemi lineari: Giordano & Nakanishi - Appendice H

Metodi deterministici per il calcolo di integrali.
Formula di Eulero-Maclaurin. Regola dei rettangoli e dei trapezi. Regole di Simpson.
Giordano & Nakanishi - appendice E

Problemi con valori al contorno per ODE: metodi di shooting. Metodo di Numerov per risolvere l’equazione di Schrodinger indipendente dal tempo. Metodo della bisezione per trovare gli zeri di una funzione.
Problemi con valori al contorno: Stickler & Schachinger - capitolo 8, sezione 8.1
Metodi di shooting: Stickler & Schachinger - capitolo 8, sezione 8.3
Metodo di Numerov per l’eq. di Schrodinger: Stickler & Schachinger - capitolo 10, sezione 10.3
Metodo della bisezione: Giordano & Nakanishi - Appendice B, sezione B.1

Cenni a generatori di numeri pseudo-casuali. Generatori LCG.
Campionamento di distribuzioni: metodo della trasformata inversa. Metodo di Box-Muller per la distribuzione Gaussiana.
Campionamento di distribuzioni: Rejection Method. Cenni su metodi Bayesiani.
Generatori di numeri casuali: Stickler & Schachinger - capitolo 12: sezioni 12.1, 12.2
Campionamento di distribuzioni: Stickler & Schachinger - capitolo 13: sezioni 13.1, 13.2, 13.3

Tecniche stocastiche per il calcolo di integrali definiti: metodo Hit or Miss.
Calcolo di integrali con metodi Monte Carlo: metodi Sample Mean e Importance Sampling
Stickler & Schachinger - capitolo 14: sezioni 14.1 (HIt or Miss), 14.2 (Sample Mean); capitolo 18: sezione 18.2 (Importance Sampling) Numerical Recipes - cap. 7: sezioni 7.6, 7.8 (NON la parte su metodi adattativi)
Giordano & Nakanishi - appendice E: sezione E.4

Introduzione ai metodi Monte Carlo e ai processi di Markov.
Cenni al modello di Ising. Temperature di Curie. Magnetizzazione spontanea.
Condizione di stazionarietà e bilancio dettagliato. Test di Metropolis. Termalizzazione e tempo di correlazione
ALGORITMO DI METROPOLIS E CATENE DI MARKOV
Stickler & Schachinger - capitolo 14, sezione 14.3 (introduzione generale a Metropolis e bilancio dettagliato) *
*Stickler & Schachinger - capitolo 18, sezione 18.2 (Metropolis-Hastings -> distinzione fra probabilità di selezione e accettazione) *
*Stickler & Schachinger - capitolo 16, sezione 16.4 (processi di Markov discreti, bilancio dettagliato e convergenza del processo di Markov: l’approccio e’ MOLTO piu’ completo/rigoroso dei pochi cenni fatti a lezione) *
*Stickler & Schachinger - capitolo 19, sezione 19.3 (funzione di autocorrelazione)
MODELLO DI ISING
*Stickler & Schachinger - capitolo 15, sezioni 15.1 (solo la definizione del modello) 15.2,15.3
Giordano & Nakanishi - capitolo 8, sezioni 8.1,8.3,8.4

Frustrazione in sistemi complessi: proprietà dell’energy landscape. Frustrazione nei vetri di spin.
Tecniche di ottimizzazione stocastica: Simulated Annealing.
Stickler & Schachinger - capitolo 20, sezione 20.3

Introduzione dello spin per spiegare i risultati dell’esperimento di Stern e Gerlach. Momento di dipolo di spin. Interazione spin-orbita. Prima formulazione del principio di esclusione di Pauli. Principio di indistinguibilità per particelle quantistiche identiche. Funzioni simmetriche e antisimmetriche. Conseguenze fisiche del principio di indistinguibilità. Fermioni e bosoni. Seconda formulazione del principio di esclusione di Pauli. Stati di singoletto e di tripletto. Legge di Hund.

Studio dei meccanismi che portano alle regole di selezione. Regole di selezione per il numero quantico magnetico. Effetto Zeeman normale. Hamiltoniano di una carica in presenza di un campo magnetico e suo equivalente semiclassico. Spiegazione dell’effetto Zeeman con l’approccio quantistico. L’esperimento di Stern e Gerlach.

Cenni sulla soluzione della equazione di Schrodinger per potenziali centrali e per l’atomo di idrogeno. Armoniche sferiche. Discussione sulle caratteristiche degli orbitali atomici. Derivazione degli autovalori del momento angolare partendo dalle regole di commutazione.

Svolgimento di esercizi di relatività. (Link#1) Operatori associati al modulo del momento angolare e alle sue componenti. Regole di commutazione fra gli operatori delle componenti del momento angolare. (in fondo al Link#2)

Calcoli di alcuni valori di aspettazione per la buca di potenziale infinita. Buca di potenziale infinita in tre dimensioni. Esistenza di tre numeri quantici e degenerazione dei livelli energetici. Equazione di Schrodinger per potenziali centrali.

Proprietà generali della funzione d’onda. Equazione di Schrodinger. Valori di aspettazione. Operatori momento ed energia. Osservabili, operatori, autovalori. Equazione di Schrodinger indipendente dal tempo. Evoluzione temporale. Condizioni al contorno. Soluzione dell’equazione di Schrodinger in una buca di potenziale infinita.

Utilizzo dell’ integrale di Fourier per rappresentare un pacchetto d’onda. Caso del pacchetto d’onda gaussiano. Principio di Heisenberg come conseguenza della analisi di Fourier. Esperimenti pensati per determinare posizione e momento. Il microscopio di Heisenberg. Ridiscussione del principio di complementarietà. Alcuni cenni sul paradosso EPR, sulle disuguaglianze di Bell e sugli esperimenti per verificarle.

Emissione spontanea e stimolata. Interpretazione di Einstein. Principio di funzionamento del laser. Il Laser a tre o quattro livelli. L’ipotesi di De Broglie. L’esperimento di Davidson e Germer. Giustificazione del postulato di Bohr. Funzione d’onda e sua interpretazione. Relazione tra la velocità di gruppo e velocità della particella.

Modello atomico di Bohr: derivazione della formula per le righe d’emissione dell’idrogeno. Costante di struttura fine. Esperimento di Franck-Hertz. Spiegazione di Moseley dei picchi nella diffrazione a raggi X. Confronto tra modello classico e quantistico dell’atomo di idrogeno: cenni del modello atomico di Sommerfield.

Il modello di Rutherford e sua soluzione. Formula di diffusione di Rutherford. Discussione sulla formula di Rutherford e sua concordanza con i dati sperimentali. Distanza di minimo avvicinamento. Dimensioni del nucleo atomico.

La produzione di raggi X. Legge di Hunt. Diffrazione da un cristallo. Legge di Bragg. Spiegazione dello spettro dei raggi X tramite l’ipotesi dei fotoni. Elementi di dinamica relativistica. Calcolo dello scattering Compton e spiegazione dei dati sperimentali. Spettri atomici. Le formule di Balmer e Rydberg. Modello di Thompson. L’esperimento di Geiger e Marsden.

L’effetto fotoelettrico e la quantizzazione dell’energia. Esempi e note sugli ordini di grandezza in gioco. Esperimento dei fori di Young: introduzione al dualismo onda-particella. Principio di incompatibilità di Bohr. Effetto termoionico (cenno).

L’ipotesi di Planck e la sua interpretazione dello spettro del corpo nero. La costante di Planck. Interpretazione della costante di Planck come misura minimale nello spazio delle fasi dell’oscillatore armonico. Esempi ed esercizi sul corpo nero. La radiazione cosmica di fondo.

Il modello di Rayleigh-Jeans. Calcolo della densità dei modi normali all’interno di una cavità. Modi normali come oscillatori armonici. Energia media di un modo normale. Catastrofe ultravioletta.

La radiazione termica. Legge di Kirchhoff. Corpo nero. Relazione tra intensità di radiazione emessa da un corpo nero e densità di radiazione al suo interno. Proprietà della radiazione all’equilibrio termico. Pressione di radiazione. Le leggi di Stefan-Boltzmann e di Wien. Derivazione termodinamica della legge di Stefan-Boltzmann.

Analisi del comportamento di particelle cariche in presenza di campo elettrico costante e relazione con il caso classico. Particelle cariche in presenza di campo magnetico costante. Esercizi di riepilogo sulla prima parte del corso.

Equazione di continuità. Leggi della dinamica in presenza di campi elettrici e magnetici. Trasformazione dei campi elettrici e magnetici. Invarianti del campo elettromagnetico. Studio delle trasformazioni che permettono di lavorare in presenza di un solo campo o di campi paralleli. Carica elettrica in presenza di campo elettrico costante.

Invarianza di gauge. Il quadripotenziale elettromagnetico. Il tensore del campo elettromagnetico. Derivazione delle equazioni di Maxwell in forma covariante. Quadricorrente e sue proprietà di trasformazione.

Esercizi di riepilogo sulla parte di dinamica relativistica. Necessità di unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici. Equazioni di Maxwell nel sistema di Gauss e loro relazione con quelle nel sistema internazionale. Riscalamento di campi e cariche.

Urto elastico di due particelle: trasferimento di energia cinetica e confronto con il caso classico. Condizione di esistenza di angoli massimi di diffusione in processi elastici. Svolgimento di esercizi di cinematica relativistica.

Urti elastici ed anelastici. Urti inclusivi ed esclusivi. Massa invariante. Invarianti di Mandelstam. Urto elastico fra due particelle.

Calcolo dell’angolo massimo di emissione in un processo di decadimento. Distribuzione delle energie di decadimento per particelle a spin nullo. Esercizi sui decadimenti. Decadimento di una particella in due particelle di pari massa.

Sistemi di riferimento del Laboratorio e del centro di massa. Condizioni sulle masse nei processi di decadimento. Energia di soglia. Decadimento in due particelle nel sistema di riferimento del Lab e del CM. Condizioni cinematiche per produzione di particelle in avanti.

Quadrigradiente e quadridivergenza. Necessità di modificare la dinamica newtoniana. Quadrivelocità e quadriaccelerazione. Quadri-impulso. Equivalenza massa-energia. Particelle con massa nulla. Quadriforza. Equazione di Minkowski. Legge di potenza. Trasformazione della quadrivelocità.

Gruppo di Poincarè. Classificazione delle trasformazioni di Lorentz. Gruppo proprio di Lorentz. Quadrivettori controvarianti e covarianti. Tensore metrico covariante. Trasformazione grandezze covarianti. Quadritensori simmetrici e antisimmetrici. Pseudo tensore di Levi Civita. Qadritensore di Ricci di rango 4 e sue proprietà.

Rotazioni nello spazio euclideo tridimensionale. Vettori e tensori. Covarianza delle leggi della dinamica. Spazio di Minkowski. Dimostrazione dell’ invarianza dell’intervallo spazio temporale. Tensore metrico. Relazione di pseudo ortogonalità.

Effetto Doppler relativistico e legge di Hubble. Paradosso dei gemelli e sua analisi con l’utilizzo dell’effetto Doppler. Discussione del paradosso della contrazione delle lunghezze. Esercizio di riepilogo. Introduzione all’analisi geometrica dello spazio di Minkowski.

Contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi. Esperimento sulla vita media dei muoni. Composizione relativistica delle velocità. Confronto con le trasformazioni galileiane delle velocità. Legge di Fresnel. Spiegazione relativistica dell’aberrazione stellare. Richiami sull’effetto Doppler classico.

Riderivazione della relatività della simultaneità. Letture temporali diverse in sistemi di riferimento diversi. Principio di causalità. Ridiscussione dei diagrammi di Minkowski. Invarianza dell’intervallo spazio-temporale. Intervalli di tipo tempo, spazio e luce e loro rappresentazione nello spazio di Minkowski.

Ipotesi del trascinamento dell’etere. Aberrazione stellare. Esperimento di Airy. Esperimento di Fizeau. Teorie emissive. Osservazioni di De Sitter sulle stelle doppie. Postulati della relatività einsteiniana. Cenni storici. Sincronizzazione degli orologi. Relatività della simultaneità. Trasformazioni di Lorentz.

Conseguenze della non invarianza delle equazioni di Maxwell per trasformazioni di Galileo: possibili scenari. Ipotesi dell’ esistenza di un sistema di riferimento inerziale privilegiato.Tentativi di determinare l’esistenza dell’ etere con segnali extraterrestri. Esperimento di Michelson e Morley e sue conseguenze.Ipotesi della contrazione di Lorentz Fitzgerald.

Introduzione al corso. Trasformazioni di Galileo. Composizione delle velocità galileiana. Invarianza degli intervalli spaziali e temporali. Principio di relatività galileiana e sue conseguenze. Non invarianza delle equazioni di Maxwell per trasformazioni di Galileo.

Geodetiche (parte 2).

Geodetiche.

Principio variazionale.

Analisi del doppio oscillatore. Esercizio: tre punti ancorati ad una sfera e collegati da molle.

Esercizio: problema di Keplero (due corpi)

Riduzione alla Routh: descrizione del metodo generale (a partire dall’esempio particolare della caduta di un grave). Esempio di applicazione: pendolo sferico.

Definizione di azione, con esempi. Un’azione è il flusso di un campo vettoriale (dim). Nozione di invarianza di una funzione sotto un’azione. Teorema di Noether (dim). Esempi di applicazione: invarianza per traslazioni e conservazione del momento lineare, invarianza per rotazioni e conservazione del momento angolare, caso delle coordinate ignorabili. Analisi del problema dei 2 corpi.

Esercizio sulle piccole oscillazioni. Caratterizzazione dei casi di (in)stabilità per lagrangiane di sistemi meccanici. Modello universale per le piccole oscillazioni (n oscillatori armonici disaccoppiati). Stabilità in 2 dimensioni. Analisi della stabilità dei punti d’equilibrio per il problema ristretto dei 3 corpi.

Proprietà dei moti descritti dalla linearizzazione attorno ad un equilibrio stabile: piccole oscillazioni . Integrale generale, modi normali, periodicità. Esempio: piccole oscillazioni attorno all’equilibrio (0,0) del pendolo doppio.

Dimostrazione del teorema dell’instabilità (linearizzazione delle equazioni di Lagrange). Esercizio: punto su un ellissoide ancorato con una molla orizzontale all’asse z, determinazione di equilibri e stabilità/instabilità.

Caratterizzazione degli equilibri di un sistema meccanico a partire dalla lagrangiana: teorema di Lagrange-Dirichlet per la stabilità, teorema dell’instabilità. Esempi di determinazione di stabilità/instabilità degli equilibri: pendolo sferico, pendolo doppio, punto con molla (caso libero e caso vincolato ad una sfera).

Invarianza delle equazioni di Lagrange per cambi di variabili (dim). Esempi: pendolo cicloidale, pendolo accelerato (sia in sdr solidale ad esso che in sdr fisso ). Esercizio per casa: pendolo rotante.

Analisi generale dei termini delle equazioni di Lagrange, condizioni necessarie perché le equazioni possano essere scritte in forma normale. Integrale di Jacobi (generalizzazione dell’energia). Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee (con dim) e applicazione per la semplificazione del calcolo dell’integrale di Jacobi. Def. di momenti coniugati, con esempi. Lagrangiane equivalenti.

Teorema spettrale di Lyapunov (con dim. del caso speciale in cui \(X'\) è diagonalizzabile). Funzioni di Lyapunov e loro relazione con gli equilibri L-stabili (+ idea di dim.). Esempi di applicazione

Tutorato: esercizi sugli integrali primi.

Ricavare la legge oraria di un sistema unidimensionale grazie all’IP dell’energia. Formula per il periodo di un moto periodico. Esempi: pendolo, pendolo rotante. Definizione di L-stabilità di un equilibrio, con esempi per l’equazione di Newton unidimensionale e i sistemi lineari in R2. Generalizzazione lasciata per esercizio a casa.

Come usare gli IP (specialmente l’integrale dell’energia) per ricavare i ritratti in fase di sistemi unidimensionali: vari esempi.

Def. di integrale primo, derivata di Lie, verifica che una funzione sia un IP. Caso: presenza di più integrali primi. Nozione di indipendenza funzionale. Metodo dell’abbassamento dell’ordine di una ODE, con esempio. Def. di equilibrio attrattivo, incompatibilità degli IP con la presenza di equilibri attrattivi.

Caratterizzazione dei ritratti in fase nel caso di sistemi di equazioni lineari (caso multidimensionale). Esempio: oscillatore smorzato. Dal lineare al non lineare: le conclusioni trovate per le linearizzazioni attorno agli equilibri quanto fedelmente rappresentano (almeno localmente) il reale comportamento del sistema non lineare di partenza? Def. di equilibrio iperbolico/ellittico. Teoremi di Hartman-Grobman e della varietà stabile per gli equilibri iperbolici (senza dim). Esempi: equazione di Newton unidimensionale, un sistema non lineare generico (orbite esaminate graficamente tramite il pacchetto EquationTrekkersu Mathematica). Def. di integrale primo.

Caratterizzazione del flusso di un’equazione lineare a seconda del segno degli autovalori (casi reale e complesso). Vari scenari possibili per il ritratto in fase. Esempi: oscillatore armonico, repulsore armonico, sistema non lineare.

Linearizzazione a equilibrio di un’equazione diff. del primo ordine, con esempio, o del secondo ordine, con esempio (forza posizionale). Risoluzione di equazioni differenziali lineari: condizioni per la diagonalizzabilità, esponenziale di matrice.

Tutorato: esercizi sulla scrittura di lagrangiane ed equazioni di Lagrange.

Potenziali dipendenti dalle velocità (potenziali generalizzati), definizione e forma. Esempi: forza di Coriolis, forze di inerzia generali, punto libero/vincolato ad una superficie sferica e soggetto alla forza di Lorentz (derivazione lagrangiana per un sistema elettromagnetico)

Def. di campo di forze posizionale, conservativo; energia potenziale. Equazioni di Lagrange con energia potenziale per sistemi di forze conservative e posizionali (dim), funzione lagrangiana. Un campo di forze che ammette un potenziale nel caso di un sistema libero ammette lo (stesso) potenziale nel caso vincolato (dim). L’energia potenziale non è unica. Esempi: punto pesante, pendolo. Adattamento della lagrangiana di un sistema libero al caso vincolato. Esempi: problema di Keplero in coordinate sferiche, molla tra due punti non vincolati (+ forza peso), problema dei due corpi. Situazione (tipica): lo stesso potenziale genera più forze (uguali e contrarie).

Coordinate dipendenti dal tempo: parametrizzazione delle velocità, energia cinetica, equazioni di Lagrange. Oss: i termini aggiuntivi dovuti al cambio di coordinate corrispondono alle forze apparenti nel caso di un cambio di sdr. Esempio: punto legato con una molla ancorata ad una base rotante. Def. di vincolo olonomo mobile, effetto su velocità ed energia cinetica. Condizione di vincolo ideale nel caso di vincoli che dipendono dal tempo, def. di spostamenti virtuali, principio di d’Alembert. Esempio: pendolo di lunghezza variabile.

Equazioni di Lagrange per un sistema libero/vincolato. Esempi di calcolo: pendolo, problema di Keplero.

Tutorato: esercizi su basi naturali, cambi di coordinate ed energia cinetica.

Scrittura di un atto di moto in coordinate su una varietà (sia per sistemi liberi che vincolati). Base naturale per il sollevamento tangente della sottovarietà. Esempi di basi naturali nel caso di punto singolo in coordinate cilindriche, o di due punti a distanza vincolata (manubrio). Def. energia cinetica. Energia cinetica nell’atto di moto rispetto alle coordinate di una sottovarietà. Esempi di calcolo dell’energia cinetica per coordinate cilindriche e manubrio.

Problema dell’esistenza e unicità di un moto vincolato ad una varietà Q. Def. di vincolo ideale, condizione di idealità geometrica e dinamica (principio di d’Alembert), esempi. Un sistema con vincoli olonomi (fissi) ideali ammette l’esistenza di moti vincolati (dim).

Ulteriori esempi di sistemi vincolati

Sistemi vincolati: introduzione della forza di reazione vincolare. Costruzione di una ortonormale su una curva, metodo di Fresnel. Equazione generale del moto (seconda legge di Newton) per un punto materiale che si trova su una curva. Ipotesi di guida liscia (vincoli non fanno lavoro), unicità della reazione vincolare data l’ipotesi. Definizione generale di vincolo. Vincolo olonomo (bilatero) fisso, esempi.

Se un campo vettoriale è tangente ad una sottovarietà chiusa, allora essa è invariante sotto al flusso del campo (dim). Due esercizi su sottovarietà invarianti e cambi di variabili (coordinate polari e sferiche).

Equazioni differenziali del secondo ordine, rappresentazione come sistema del primo ordine, soluzioni, equilibri. Esempio: oscillatore armonico. Distinzione tra spazio delle fasi e delle configurazioni. Cambiamenti di coordinate in equazioni del II ordine: solo i sollevamenti tangenti preservano la struttura del secondo ordine (dim). Esempio: problema di Keplero in coordinate cilindriche. Def. di sottovarietà invarianti, integrale primo, esempi. Def. di campo vettoriale tangente a una sottovarietà. Se una sottovarietà è invariante allora il campo vettoriale è tangente ad essa (dim).

Tutorato: esercizi sulle equazioni differenziali (rappresentazioni qualitative di equazioni del primo ordine, risoluzione generale di equazioni del secondo ordine).

Ripasso sulle varietà differenziabili. Definizione di sottovarietà, diffeomorfismo, diffeomorfismo locale. Invertibilità della matrice Jacobiana. Esempio di diffeomorfismo locale che non è globale. Teorema della funzione inversa. Nozione di differenziabilità per funzioni tra insiemi qualunque. Carta locale e parametrizzazione. Immersioni e sommersioni. Vettori e spazi tangenti a sottovarietà.

Esempi: diffeomorfismo di un campo radiale bidimensionale, passaggio in coordinate polari. Definizioni di push forward/back, sollevamento tangente di mappe. Esempi di sollevamento tangente di funzioni, passaggio in coordinate cilindriche in R^3. Il sollevamento tangente induce una base per le derivate (velocità) delle coordinate.

Forma normale dell’equazione del moto per un sistema di N punti materiali. Campo di forze vincolari. Vettori tangenti ad un aperto di R^d, fibrato tangente. Def. campo vettoriale, interpretazione geometrica di ODE come campi vettoriali. Campo vettoriale completo. Flusso di un’equazione differenziale autonoma e proprietà. Definizione di orbita, proprietà di non intersezione, ritratto in fase. Applicazione di un diffeomorfismo (passaggio ad un diverso sdr) ad una funzione e a un campo vettoriale. Campo vettoriale coniugato, formula e dimostrazione. Esempio in R^1.

Ripasso delle equazioni differenziali. Problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità, soluzioni massimali. Spazio delle fasi, traslabilità temporale delle soluzioni per equazioni differenziali autonome. Flusso e proprietà, orbite di un’equazione. Esempi in una e due dimensioni (oscillatore armonico).

Dimostrazione della velocità angolare. Relazione tra velocità e accelerazioni nei diversi sistemi di riferimento. Esempio: moto del Sole rispetto a un sdr con assi fissi la cui origine ha il moto della Terra. Equazioni del moto per un sistema meccanico.

Definizione di sistema meccanico, sistema di riferimento, moto. Derivata di un vettore, vettori velocità e accelerazione. Equazione di moto del sistema (II legge di Newton). Problema ristretto dei tre corpi. Cambio di sistema di riferimento: rotazione degli assi, operatore skew, velocità angolare.

Introduzione agli argomenti del corso.

(Ultima lezione :D)

(Operatori lineari su spazi di Hilbert)

(Operatori lineari su spazi di Hilbert)

Trasformate di Fourier di distribuzioni: definizione e proprietà. Esempi di trasformate di distribuzioni singolari. Trasformata della funzione di Heaviside. Utilizzo delle trasformate per la risoluzione di equazioni differenziali. Basi generalizzate, def., ortonormalità, completezza. Distribuzioni su \(\mathbb{R}^n\) (def.). Def. di operatore lineare su spazi di Hilbert, estensione, continuità/limitatezza. Teorema: continuità se e solo se limitatezza. Teorema: esistenza di un’estensione unica continua.

Composizione di delta con una funzione: caso generale. Esercizi sulle operazioni applicate alla delta. Primitiva di una distribuzione e proprietà, cenni ad equazioni differenziali. Trasformate di Fourier in \(S(\mathbb{R})\) e \(S^*(\mathbb{R})\): definizioni e proprietà. Dim che \(F\) e \(F^{-1}\) sono l’una l’inversa dell’altra in \(S(\mathbb{R})\). Def. di prodotto di convoluzione.

Operatori lineari continui. Derivata distribuzionale, esempi per la derivata della funzione di Heaviside e del \(\log\mathrm{abs}(x)\). Operazioni sulle distribuzioni: coniugazione complessa, trasformazioni dell’argomento, prodotto per funzione. Esempio: operazioni applicate alla delta di Dirac. Composizione della delta con una funzione.

Def. distribuzioni regolari (funzionali costruiti da funzioni), es. funzione di Heaviside. Def. di distribuzione singolare ed esempio. Valore principale di una distribuzione singolare. Topologia debole su \(S^*(\mathbb{R})\) ed esempi. Completezza di \(S^*(\mathbb{R})\) sulla topologia debole. Operatori su \(S^*(\mathbb{R})\).

(Sono stato assente a questa lezione, causa laboratorio. Ho intenzione di recuperare gli appunti e caricarli qui nella prossima settimana - quella dal 23 al 29 - non appena avrò avuto tempo di copiarli. Sorry del disguido!)

Sistema di Fourier su \(L^2\). Sistema di Legendre, sistema di Hermite. Def. di funzionale lineare e caratterizzazione. Teorema: un funzionale è continuo se e solo se è limitato (dim). Def. funzionale lineare densamente definito, esempio. Def. di spazio duale.

Def. di spazio vettoriale separabile. Teorema: sistemi ON in uno spazio separabile sono al più di dimensione infinita numerabile (dim). Spazio separabile => Esistenza di una base ON numerabile (dim parziale), e implicazione inversa (dim parziale), con esempi. Teorema di Riesz-Fischer (dim). Sistema di Fourier su \(L^2\).

Spazio \(L^2\) delle funzioni quadrato sommabili, definizione. Teorema: gli spazi \(L^2\) unitari sono completi e di Hilbert. Def. chiusura, spazio denso, varietà lineare, sottospazio. Teorema del completamento (+ idea di dim). Def. di complemento ortogonale. Teorema: decomposizione di uno spazio in due sottospazi ortogonali in somma diretta (dim.). Corollario: condizione perché una varietà lineare sia densa. Def. di sistema ortonormale, base ON, metodo di Gram-Schmidt.

Identità del parallelogramma e di polarizzazione. Uno spazio normato per cui vale l’identità del parallelogramma è unitario. Disuguaglianza di Schwarz (con dim.). Def. spazio metrico, esempi. Lo spazio \(l^2\) è uno spazio metrico (dim), spazio \(\mathcal{C}^2\). Topologia di spazi vettoriali metrici/normati. Somma, prodotto per uno scalare, norma e prodotto scalare (se definiti) sono funzioni continue (dim). Ogni successione convergente è di Cauchy. Def. spazio metrico completo, spazio di Banach, spazio di Hilbert. Ogni spazio vettoriale di dimensione finita è completo rispetto a qualsiasi norma. \(l^2\) è uno spazio di Hilbert (dim), mentre \(\mathcal{C}^2\) non lo è (dim).

Ultimi esercizi sugli integrali con metodo dei residui. Caso generale dell’integrale di funzioni razionali reali su dominio limitato. Funzione Gamma di Eulero e proprietà, cenni di funzioni ipergeometriche.
Introduzione al macroargomento degli spazi di Hilbert: def. di spazio vettoriale (+ esempi), vettori linearmente (in)dipendenti, dimensionalità di uno spazio vettoriale, spazi vettoriali unitari (+ esempi), vettori ortogonali, spazi normati.

Esercizi su integrali a variabile reale con metodo dei residui: caso degli integrali non su tutto R. Caso generale dell’integrale di funzioni razionali reali senza poli su un dominio illimitato.

Integrali di funzioni trigonometriche con residui. Integrali di funzioni polidrome, con esercizi.

Definizione di trasformata e antitrasformata di Fourier. Esempio di calcolo di una trasformata tramite il lemma di Jordan. Calcolo di integrali di linea attraverso singolarità isolate: valore principale (def), lemma dei cerchi piccoli, prescrizione +-i epsilon, con esempi.

Esercizio: trovare il numero di zeri di una funzione nel primo quadrante. Esercizio: calcolo di un integrale reale tramite residui. Lemma di Jordan (dim). Esercizi sugli integrali con lemma di Jordan.

Completamento dell’es. della lezione precedente. Def. di funzione intera, funzione meromorfa. Teorema: relazione tra integrali e residui (dim), esempi per poli/zeri semplici, poli di ordine m. Esercizi sul calcolo di residui. Def. di residuo all’infinito. Teorema dei residui (dim). Derivata logaritmica di una funzione: def. e proprietà (con dim). Teorema dell’indice logaritmico.

Def. rivestimento del piano complesso, funzione polidroma. Casi della radice n-esima e del logaritmo. Def. di punto di ramificazione di ordine n, con esempi. Punto di ramificazione all’infinito. Sfera di Riemann. Esercizi su funzioni polidrome: funzione con radice, funzione con logaritmo.

Esempio: determinazione di una funzione olomorfa date le singolarità e un valore. Teorema: se l’insieme degli zeri di una funzione olomorfa ha un punto d’accumulazione, allora la funzione è identicamente nulla (dim) ed esempio. Def. topologia indotta, connessione. Teorema: identità di funzioni olomorfe (dim). Def. insieme continuo, prolungamento analitico. Teorema: unicità del prolungamento analitico (dim). Esempio di una funzione non prolungabile analiticamente. Introduzione alle funzioni polidrome: il caso della radice complessa.

Serie di Laurent del reciproco di una funzione olomorfa. Esercizio: serie di Laurent di \(1/\sin(z)\). Singolarità isolate: definizione, caratterizzazione (eliminabili, poli, essenziali). Relazione tra termini della serie di Laurent e tipo di singolarità (dim). Teorema di Picard (no dim) con esempio. Definizione di residuo, singolarità isolata all’infinito (e sua caratterizzazione, con relazione alla serie di Laurent). Determinazione di una funzione olomorfa con singolarità all’infinito sapendo l’andamento divergente in ogni singolarità e il suo valore in un punto, con esempio.

Teorema: una funzione olomorfa ammette una rappresentazione sotto forma di serie di Laurent (dim). Tale scrittura è unica (dim). Esercizio: sviluppo in serie di Laurent. Def. zero di una funzione olomorfa, zero semplice, ordine di zero. Regola di de l’Hopital estesa (dim). Sviluppo in serie di Mac-Laurin del reciproco di una funzione olomorfa qualsiasi, con l’ipotesi di \(f(0)\) non nulla.

Esercizio: integrale del reciproco. Def. di raggio di convergenza. Derivate e integrali di una serie di potenze hanno lo stesso raggio di convergenza. Criteri di convergenza: rapporto, radice, Cauchy-Hadamard. Principali serie di potenze. Serie di Taylor, dimostrazione della convergenza. Una qualsiasi funzione olomorfa può essere espressa come una serie di potenze convergenti unicamente tramite la serie di Taylor (dim). Principali serie di Mac-Laurin. Serie di Laurent, definizione e condizione di convergenza. Teorema: una qualsiasi funzione olomorfa può essere espressa come una serie di Laurent (generalizzazione della serie di Taylor).

Dimostrazione del teorema di Liouville generalizzato. Teorema fondamentale dell’algebra (+ dim.). Esempi di integrali di funzioni complesse. Definizione di successione di funzioni e principali proprietà. Una successione di funzioni continue converge a una funzione continua. Definizione di serie di funzioni. Teorema di Weierstrass (+ dim.). Definizione di serie di potenze. Teorema di Abel (+ dim.)

Teorema di Morera (con dim.). Due primitive della stessa funzione differiscono per una costante. Teorema fondamentale del calcolo nel caso di domini non semplicemente connessi. Es. integrale di \((z-a)^n\) e \(z^n\) lungo una curva chiusa. Integrale di \(1/(z-a)\) lungo una curva chiusa, formula di Cauchy. Corollario: una funzione olomorfa ammette derivate continue di ogni ordine (con due dim., una tramite Cauchy e una più rigorosa dalla def. di derivata). Teorema della media, principio del massimo, teorema di Liouville (tutti con dim.).

Regola di de l’Hopital (con dim.). Integrazione lungo una curva, invarianza per riparametrizzazioni, disuguaglianza di Darboux. Definizione di omotopia tra curve chiuse, omotopia tra curve aperte a estremi fissati e omotopia a un punto. Definizione di spazio semplicemente connesso. Teorema di Cauchy (con dim.). Corollario: invarianza dell’integrale di linea di funzioni olomorfe per omotopia. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.).

Funzioni olomorfe ammettono derivata continua e derivabile, per cui parte reale e immaginaria sono \(\mathcal{C}^\infty\). Operatori di derivazione complessa e di Cauchy-Riemann, e loro proprietà in relazione alle operazioni comuni (somma/prodotto/reciproco/composizione). Principali funzioni olomorfe e non olomorfe. Definizione di funzione armonica, relazione tra funzioni olomorfe e armoniche (dimostrazione che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa sono armoniche). Trasformazioni conformi: funzioni olomorfe preservano localmente gli angoli.

Introduzione al corso. Riepilogo delle proprietà dei numeri complessi: definizione, somma e prodotto, coniugazione complessa, modulo, forma polare. Cenni di topologia dello spazio complesso. Principali funzioni complesse a variabile complessa (parte reale e immaginaria, polinomio, f. razionale, esponenziale, logaritmo, f. trigonometrica). Definizione di limite per funzioni complesse, continuità e derivabilità. Definizione di funzione olomorfa e teorema di Cauchy-Riemann con dimostrazione.

Introduzione al corso, breve ripasso di alcuni concetti basilari di MQ

Scale di energia, dimensioni, tempo per la fisica nucleare. Principali unità di misura utilizzate. I costituenti fondamentali del nucleo e loro proprietà. Distribuzione di materia all’interno del nucleo, misure di scattering. La carta dei nuclidi di Segrè.

Categorizzazione della tavola di Segrè dei nuclidi: isotopi, isotoni, isobari (+nuclei speculari) e isomeri. Modello “a goccia di liquido” del nucleo atomico: principali proprietà. Introduzione al termine di Volume per la formula della massa nucleare.

Il modello atomico a goccia di liquido: termini di volume, superficie, interazione coulombiana, asimmetria e parità. Formula di massa, energia di estrazione di nucleoni. Parabola di massa e stabilità degli isobari.

Stabilità di isobari con \(A\) pari. Energie di legame per nuclei speculari. Il modello a gas di Fermi: introduzione e ipotesi. La buca quadrata infinita in \(d=1\) e \(d=3\). Momento ed energia di Fermi, estensione ad un modello a buca finita.
Diap. 29-36 4.pdf, 1-14 3.pdf

Energia cinetica media per nucleone nel modello di Fermi. Relazione tra densità di nucleoni e momento di Fermi. Introduzione ai processi di fusione/fissione nucleare.
Diap. 14-17 4.pdf, 1-2 5.pdf

Fissione e fusione nucleari. Diap. 3-19 da 5.pdf

(Non ero presente a lezione, e ho trascritto/rielaborato gli appunti dalle diapositive e da note che mi hanno gentilmente passato)

Il deutone: modello quantistico analitico. DIap. 1-10 da 6.pdf

Ultimi dettagli del modello quantistico del deutone: momento di dipolo magnetico e momento di quadrupolo elettrico. Richiami di teoria di MQ.

Introduzione del modello nucleare a shell: approssimazioni, scelta del potenziale di campo medio (oscillatore armonico, Woods-Saxon, perturbazione di spin-orbita). Split dei livelli degeneri e origine dei numeri magici.

Costruzione dei livelli nel modello a shell. Vari esempi di applicazione: previsione di momento angolare e parità del livello fondamentale per nuclei arbitrari. Introduzione al modello collettivo per eccitazioni a bassa energia. Diap. 11-16 7.pdf, 1-7 8.pdf

Modello collettivo: descrizione di deformazioni di una superficie sferica in termini del solo termine quadrupolare. Quantizzazione delle variabili del sistema, Hamiltoniana di piccole oscillazioni attorno alla forma sferica, risoluzione con spettro armonico. Confronto con risultati sperimentali e cenni di sviluppi ulteriori. Diap. 8-21 8.pdf

Introduzione ai decadimenti radioattivi: classificazione (potere penentrante/dinamica in campi elettromagnetici). Il decadimento \(\alpha\): proprietà ed esempi, bilanciamento energetico. Modello quantistico per l’origine della varietà dei tempi di decadimento. Diap. 1-28 9.pdf

Decadimento \(\alpha\): modello quantistico per i tempi di decadimento. Esempi di catene di decadimento.
Decadimento \(\beta\): proprietà ed esempi. Spettro energetico e motivazione (processo a tre corpi), calcolo dell’energia di end-point. Golden Rule di Fermi per la probabilità di transizione: analisi dei termini di densità degli stati e funzione correttiva di Fermi.
Diap. 28-36 9.pdf, 1-23 10.pdf

Vi sono incompletezze segnalate (fare ref. alle diapositive). Nei prossimi giorni saranno completate.

La natura dell’elemento di matrice \(M\). Esempi di valori numerici. Distinzione tra transizioni permesse/proibite. Transizioni di Fermi/Gamow. Transizioni super-permesse. Esempi vari
Diap. 24-38 10.pdf

Vi sono incompletezze segnalate (fare ref. alle diapositive). Nei prossimi giorni saranno completate.

Esempi di decadimento beta: determinazione delle possibili transizioni tra due stati dati. Decadimento gamma: caratteristiche, bilanciamento energetico. Classificazione delle transizioni. Potenza emessa, probabilità di transizione. Diap. 1-16 11.pdf

Decadimento gamma: calcolo di probabilità di transizione, stime di Weisskopf. Andamenti funzionali delle varie probabilità di transizione in funzione dell’energia emessa dal gamma e di A. Esempi vari. La sezione d’urto: definizione. Introduzione alle interazioni radiazioni-materia. Diap. 17-25 11.pdf, 1-4 12.pdf, 1-3 13.pdf

Effetto Compton e pair-production, caratteristiche, spettri, bilanci energetici. Sezione d’urto totale, attenuazione della radiazione nella materia, coefficiente di attenuazione lineare. Diap. 4-18 13.pdf

Interazione tra radiazioni cariche massive e materia. La formula di Bethe-Bloch per lo stopping power. Cenni di applicazioni, curva di Bragg. Diap. 1-21 14.pdf (Ultima lezione di Fisica Nucleare)

Introduzione alla fisica subnucleare: le particelle fondamentali previste dal modello standard, classificazione generale, particelle mediatrici delle interazioni fondamentali e loro range. Diap. 1-11 1.pdf

[Lezione non tenuta per impegni istituzionali della Prof.essa]

Recap di relatività speciale. Unità di misura e principali definizioni per la fisica subnucleare. Fenomenologia: scattering e decadimenti. Sezioni d’urto, definizioni.
Tutte le diapositive di 1.pdf e 2.pdf

Vi sono diverse parti mancanti (fare riferimento alle diapositive)

Interazione tra particelle (cariche massive, elettroni, fotoni, adroni) e materia. Rivelatori: scintillatori, radiazione Cerenkov.
Diap. 1-18 4.pdf, 1-7 5.pdf

Principali rivelatori di particelle: camere a nebbia, a bolle, a ionizzazione (regimi ed esempi).
Diap. 9-18 5.pdf

Rivelatori al silicio: principi di funzionamento. Nuclear emulsions, calorimetri. Schema di un detector.
La scoperta delle prime particelle: esperimenti di scattering. Raggi cosmici: raggi primari, secondari, cascate.
Diap. 19-26 5.pdf, 1-6 6.pdf

[MISSING] Tutte le diapositive di 7.pdf

Antimateria: origine teorica dall’equazione di Dirac (MQ + relatività speciale). Scoperta del positrone. Esperimento per la rivelazione dell’anti-protone.
Diap. 1-12 8.pdf

Simmetrie e leggi di conservazione, classificazione. Simmetrie discrete: parità, coniugazione di carica, inversione temporale. Simmetrie interne: numero barionico, leptonico, flavor leptonico.
Diap. 1-20 9.pdf

Isospin, ipercarica, risonanze nei decadimenti

Il modello a quark
Diap. 1-17 11.pdf

[MISSING - Non ero a lezione]

Scoperta del gluone. Caratteristiche, cenni di QCD.
Diap. 17-27 di 12.pdf

L’interazione debole: cenni storici, decadimenti beta, violazione della parità
Diap. 1-13 di 13.pdf

[MISSING - Non ero a lezione]

Oscillazioni di flavor per mesoni neutri (strangeness oscillations). Violazione della simmetria CP - setup dell’esperimento, conseguenze sull’asimmetria materia-antimateria.
15.pdf diap. 1-18

Il bosone di Higgs: cos’è e da dove deriva. Informazioni sull’esperimento che l’ha rivelato. Introduzione al neutrino.

Neutrini: oscillazione, gerarchia di massa, frontiere inesplorate.

Introduzione agli spettri atomici: lo spettro dell’idrogeno, principali serie (Balmer, Lyman, Paschen…), costante di Rydberg. Il caso dei metalli alcalini. Righe sharp (s), principal (p) e diffuse (d).

Modello atomico di Bohr e Sommerfeld.

In lavorazione

Il modello quantomeccanico per l’idrogeno

In lavorazione

Interazioni intermolecolari: dipoli permanenti, dipoli indotti, dipoli istantanei (forze di Van der Waals).

(Aggiunte immagini!)

Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo (caso senza degenerazione) + 3 esercizi di applicazione

In lavorazione (Aggiunte immagini!)

Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo: il caso di autovalori degeneri. Equazione secolare e sua risoluzione. Due esercizi di applicazione.

In lavorazione

Interazione spin-orbita per l’elettrone in un atomo di idrogeno (+ caso di atomi con più elettroni). Termine aggiuntivo per l’Hamiltoniana quantistica. Composizione dei momenti angolari. L’interazione tra \(\vec{L}\) e \(\vec{S}\) produce un moto giroscopico di precessione.

In lavorazione (Aggiunte immagini!)

Derivazione della struttura fine dell’idrogeno tramite teoria delle perturbazioni al primo ordine: interazione spin-orbita e correzioni relativistiche. Esercizi numerici a riguardo.

In lavorazione

Effetto Stark (quadratico e lineare) ed Effetto Zeeman (normale e anomalo, in trattazione classica e semiclassica vettoriale)

In lavorazione

Due esercizi sul calcolo di perturbazioni per effetto spin-orbita e per effetto Zeeman (atomi multielettronici)

In lavorazione

Effetto Zeeman ordinario nel formalismo quantistico del potenziale vettore. Motivazione quantistica della trattazione vettoriale semi-classica per l’interazione spin-orbita. Indistinguibilità di particelle quantistiche e principio di esclusione di Pauli. Cenno di statistica bosonica/fermionica. Introduzione agli atomi multielettronici: risultati spettroscopici per l’elio.

In lavorazione

Descrizione quantomeccanica dell’atomo di elio. Trattazione perturbativa della repulsione elettrone-elettrone.

Determinazione dello stato fondamentale per atomi multielettronici: il metodo di Hartree.

Due esercizi: potenziale percepito dall’elettrone più esterno in atomi di elio/litio, determinazione della carica effettiva del nucleo. Atomi multielettronici: potenziale sfericamente simmetrico + asimmetrie trattate con teoria delle perturbazioni. Anomalie nelle configurazioni elettroniche.

Atomi multielettronici: calcolo dei termini spettroscopici, regole di Hund per l’energia. Introduzione ai legami chimici. Il principio di Born-Oppenheimer.

Esercizi sugli atomi multielettronici

Figure mancanti

Ione idrogeno H2+ e ione idrogeno H2 - metodi variazionali + perturbativi

Parte iniziale della lezione è mancante

[Missing]

(Non ero presente a lezione)

[Missing]

Non ero presente a lezione

Introduzione al corso, lista degli argomenti che saranno trattati. La natura dell’informazione come entità fisica, connessione tra informazione ed entropia, diavoletto di Maxwell e principio di Landauer. Porte logiche classiche, qubit e sfera di Bloch.

Informazione contenuta in un qubit. Principali porte logiche quantistiche: Hadamard, Phase Shift, C-NOT, C-PHASE. Funzioni di qubit, problema dell’unitarietà, parallelismo quantistico. Esempi di calcolo.

Corretto un errore nella risoluzione del II esercizio. Aggiunta risoluzione completa del III esercizio.

Teletrasporto quantistico. Misure senza interazione: l’interferometro di Mach-Zehnden. Introduzione al paradosso di Zenone quantistico.

Corrette le fasi nel Beam-Splitter e altri refusi

L’effetto Zenone quantistico: derivazione matematica tramite proiettori di Von Neumann. Survival probability vista come effetto di una evoluzione non unitaria generata da una Hamiltoniana non hermitiana. Effetto Zenone prodotto da strong coupling con l’ambiente esterno. Origine delle Hamiltoniane non hermitiane a partire da una visuale parziale di un sistema interagente che evolve unitariamente.
Esercizio: evoluzione unitaria dell’Hamiltoniana di una porta NOT quantistica.

Prima revisione completata! La conclusione dell’esercizio sarà aggiunta a breve.

Matrici densità: definizioni e proprietà principali, evoluzione temporale, caso dei sistemi composti. Esempi di conti con matrici densità.

Prima revisione completata!

Definizione di correlazione. Solo gli stati entangled possono presentare correlazione. Come riconoscere stati entangled: decomposizione e rango di Schmidt. Purificazione di uno stato misto. Teorema di rappresentazione di Kraus.

Resta da sistemare la conclusione dell’esercizio iniziato il 7/3, che sarà riportata negli appunti di quel giorno appena sarà pronta.

Misure generalizzate. Teorema di Neumark. Rappresentazione unitaria di operatori di Kraus. Origine delle misure generalizzate come effetto di misure proiettive su un sistema composto osservate da un sottosistema. Esempio: weak measurement. POVM Measurement. Definizione di processo di decoerenza.

In lavorazione

Definizione generale di canale quantistico. Interpretazione geometrica di trasformazioni a 1 qubit come deformazioni della sfera di Bloch. Canali a 1 qubit: bit-flip, phase-flip, bit-phase-flip, depolarizing, amplitude/phase damping. Esempio canale a 2 qubit: distruzione dell’entanglement. Evoluzione generale di un sistema quantistico: la Master Equation.

In lavorazione

Cenni di crittografia classica, il problema della distribuzione delle chiavi. Quantum Key Distribution: il protocollo BB84. Esempi, tecniche (classiche) per incrementarne la sicurezza, potenziali attacchi. Canale di Dense Coding: trasmissione di 2 bit classici al prezzo di un solo qubit.

In lavorazione

Disuguaglianze di Bell: setup sperimentale, ipotesi di teoria locale e disuguaglianza CHSH, violazione data dal formalismo della MQ. Definizione di scenario di Bell. Possibili vincoli sulle probabilità condizionate (teorie no-signaling, locali, quantistiche). Definizione delle disuguaglianze di Bell come iperpiani che separano le varie regioni.

In lavorazione

Teoria dell’informazione classica: Entropia di Shannon, Teorema del Noiseless Coding. Generalizzazione al caso quantistico: entropia di Von Neumann + esempio di calcolo

In lavorazione…

Quantum Noiseless Coding (Teorema di Schumacher). Caratterizzazione dell’entanglement: discrizione tra correlazioni classiche (LOCC) e quantistiche. Misura di entanglement + esempio. Dimostrazione dell’impossibilità di dense coding con sole correlazioni classiche. Esercizio sulle matrici ridotte.

In lavorazione…

Algoritmi quantistici: algoritmo di Deutsch e algoritmo di Grover

In lavorazione…

Algoritmo di Grover - interpretazione geometrica. Quantum Discrete Fourier Transform (QFT). Crittografia asimmetrica: l’algoritmo RSA. Introduzione all’algoritmo di Shor: equivalenza tra fattorizzazione in numeri primi e ricerca del periodo di una certa funzione.

In lavorazione…

L’algoritmo di Shor + esempio di esecuzione

Immagini mancanti.

Phase estimation algorithm e Quantum Error Correction

Immagini mancanti.

Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, Fermi Golden Rule. Cenni di implementazioni hardware di computer quantistici: ioni intrappolati e circuiti superconduttivi.

Immagini mancanti